hypersurfaces: The vector distance functions

We present a novel method for representing and evolving objects of arbitrary dimension. The method, called the Vector Distance Function (VDF) method, uses the vector that connects any point in space to its closest point on the object. It can deal with smooth manifolds with and without boundaries and with shapes of diierent dimensions. It can be used to evolve such objects according to a variety of motions, including mean curvature. If discontinuous velocity elds are allowed the dimension of the objects can change. The evolution method that we propose guarantees that we stay in the class of VDF's and therefore that the intrinsic properties of the underlying shapes such as their dimension, curvatures can be read oo easily from the VDF and its spatial derivatives at each time instant. The main disadvantage of the method is its redundancy: the size of the representation is always that of the ambient space even though the object we are representing may be of a much lower dimension. This disadvantage is also one of its strengths since it buys us exibility. Reprrsenter et faire voluer des variitts diiirentiables de co-dimension arbitraire plongges dans R n comme l'intersection de n hypersurfaces: les fonctions distance vectorielles. RRsumm : Nous prrsentons une mmthode pour reprrsenter et faire voluer des objets de dimension arbitraire. La mmthode, dite de la Fonction Distance Vectoriellee (VDF), utilise le vecteur qui joint tout point de l'espace son point le plus proche sur l'objet et est donc applicable des objets de toute dimension, avec ou sans bord. Elle peut tre utilisse pour simuler, entre autres, le mouvement par courbure moyenne. L'utilisation de champs de vitesse discontinus permet l'objet de changer de dimension en cours d''volution, la fonction vectorielle associiee restant toujours dans la classe des VDF. Par conssquent, les propriitts intrinssques de ladite variitt, comme sa dimension et sa courbure, sont accessibles chaque instant via le calcul des ddrives spatiales d'ordre 2 de sa VDF. La principale faiblesse de cette mmthode rrside dans sa redondance: la taille de la reprrsentation est toujours celle de l'espace ambiant alors mmme que la variitt ddcrite peut tre de dimension faible. Dans le mmme temps, ceci est une force de la mmthode puisque que cela procure une plus grande exibilitt.